Задание 1. Решение задач линейного программирования графическим методом
Варианты 1-10. Предприятие выпускает две модели телефонов. Каждая модель производится на отдельной технологической линии. Суточный объем производства первой линии - k телефонов, второй - k2. На телефон первой модели расходуется an элементов электронных схем вида I и a21 элементов вида II, на телефон второй модели - соответственно a и a элементов. Наибольший суточный запас используемых элементов вида I равен \ ед., вида II - Ь2 ед. Прибыль от реализации одного телефона первой и второй моделей - соответственно c и с2 ден. ед. Определить:
- оптимальные суточные объемы производства первой и второй моделей, при которых прибыль будет максимальной;
- пределы уменьшения производительностей первой и второй линий, при которых полученное оптимальное решение остается неизменным;
- пределы увеличения суточного запаса элементов электронных схем I и II видов, при превышении которых улучшить значение целевой функции невозможно.
Варианты 11-20. Предприятие выпускает две модели электронных часов. Каждая модель производится отдельной бригадой рабочих. Суточный объем производства первой бригады - k изделий, второй - k . На часы первой модели расходуется a элементов электронных схем вида I и a элементов вида II, на часы второй модели - соответственно a и a элементов. Наибольший суточный запас используемых элементов вида I равен Ь ед., вида II - Ь2 ед. Прибыль от реализации одного изделия первой и второй моделей - соответственно c и с2 ден. ед. Определить:
3
1) оптимальные суточные объемы производства первой и второй моделей, при которых прибыль будет максимальной;
2) предел уменьшения производительности первой бригады, при котором полученное оптимальное решение остается неизменным;
3) предел увеличения производительности второй бригады, превышение которого уже не будет оказывать влияния на рост прибыли;
4) пределы увеличения суточного запаса элементов электронных схем I и II видов, при превышении которых улучшить значение целевой функции невозможно.
Варианты 21-30. Предприятие выпускает две модели холодильников. Каждая модель производится в отдельном цехе. Суточный объем производства первого цеха - k холодильников, второго - к. На холодильник первой модели расходуется ап элементов электронных схем вида I и а21 элементов вида II, на холодильник второй модели - соответственно а12 и а22 элементов. Наибольший суточный запас используемых элементов вида I равен \ ед., вида II - Ь2 ед. Прибыль от реализации одного холодильника первой и второй моделей - соответственно c и с2 ден. ед. Определить:
1) оптимальные суточные объемы производства первой и второй моделей, при которых прибыль будет максимальной;
2) предел уменьшения производительности второго цеха, при котором полученное оптимальное решение остается неизменным;
3) предел увеличения производительности первого цеха, превышение которого уже не будет оказывать влияния на рост прибыли;
4) пределы увеличения суточного запаса элементов электронных схем I и II видов, при превышении которых улучшить значение целевой функции невозможно.
Задание 2. Построение моделей двойственных задач
для задач, заданных в произвольной форме
Постройте модель двойственной задачи для данной задачи линейного про граммирования, заданной в произвольной форме.
Задание 3. Решение задач линейного программирования
симплекс-методом
Варианты 1-10. Для реализации трех групп товаров коммерческое предприятие располагает тремя видами ограниченных материально-денежных ресурсов в количестве Ъх, Ъ2, Ъ3 единиц. При этом для продажи первой группы товаров на 1
тыс. руб. товарооборота расходуется ресурса первого вида в количестве а11 единиц, ресурса второго вида - в количестве a2i единиц, ресурса второго вида - в количестве a3i единиц. Для продажи второй и третьей групп товаров на 1 тыс. руб. товарооборота расходуется соответственно ресурса первого вида в количестве а12, а13 единиц, ресурсов второго вида - в количестве а22, а23 единиц, ресурсов третьего вида - в количестве а32, а33 единиц. Доход от продажи трех групп товаров на 1 тыс. руб. товарооборота составляет соответственно c, c2, c3 (тыс. руб.). Определите плановый объем и структуру товарооборота так, чтобы доход торгового предприятия был максимальным. Решить двойственную задачу.
Варианты 11-20. Предприятие может выпускать 4 вида продукции (П1, П2, П3, ПД используя для этого 3 вида ресурсов (Р1, Р2, Р3). Расход ресурса /-го вида
9
(i = 1, 2, 3) на единицу продукции j-го вида (j = 1, 2, 3, 4) составляет ау единиц. Количество ресурсов Р1, Р2, Р3 составляет Ъх, Ъ2, Ъ3 единиц; стоимость единицы продукции П1, П2, П3, П4 составляет cx, c2, С3, С4 ден. ед. соответственно. Определите оптимальный план выпуска продукции, обеспечивающий максимальную прибыль от продажи продукции. Решить двойственную задачу.
Варианты 21-30. Предприятие может выпускать 3 вида продукции (П1, П2, П3), используя для этого 4 вида ресурсов (Р1, Р2, Р3, Р4). Расход ресурса i-го вида (i = 1, 2, 3, 4) на единицу продукции j-го вида (j = 1, 2, 3) составляет a,j единиц. Количество ресурсов Р1, Р2, Р3, Р4 составляет Ъх, Ъ2, Ъ3, Ъ4 единиц; стоимость единицы продукции П1, П2, П3 составляет сх, с2, С3 ден. ед. соответственно. Определите оптимальный план выпуска продукции, обеспечивающий максимальную прибыль от продажи продукции. Решить двойственную задачу.
Задание 4. Модели задач целочисленного программирования
Варианты 1-10. На приобретение оборудования для нового производственного участка выделено \ тыс. ден. ед. Оборудование должно быть размещено на
Л
площади в b м . Предприятие может заказать машины типа А стоимостью an тыс. ден. ед., занимающие площадь (с учетом проходов) a21 м2 и выпускающие с1 ед. продукции за смену, и машины типа Б стоимостью a12 тыс. ден. ед., занимающие площадь a м2 и обеспечивающие выпуск с ед. продукции за смену. При этом следует учесть, что машин типа А можно заказать не более Ь3 штук. Требуется:
1) составить математическую модель задачи, пользуясь которой, можно найти план приобретения машин, учитывающий возможности предприятия и обеспечивающий наивысшую производительность нового участка;
2) пользуясь одним из методов целочисленного линейного программирования, найти оптимальный план приобретения оборудования.
Варианты 11-20. Из Минска в Могилев необходимо перевезти оборудование трех типов: \ ед. типа А, Ь2 ед. типа Б и Ь3 ед. типа В. Для перевозки оборудования завод может заказать два вида транспорта: Т1 и Т2. На единицу транспорта вида Т1 может быть погружено не более a ед. оборудования типа А, не более a ед. оборудования типа Б, не более a31 ед. оборудования типа В; на единицу транспорта вида Т2 - не более a12, a22, a32 ед. оборудования соответственно типа А, Б и В. Сменные затраты, связанные с эксплуатацией единицы транспорта вида Т1, составляют с ден. ед., единицы транспорта вида Т2 - с2 ден. ед. Требуется:
1) составить математическую модель задачи, позволяющую установить количество транспортных единиц того и другого вида, необходимое для перевозки оборудования с минимальными затратами;
2) пользуясь одним из методов целочисленного программирования, найти оптимальный план заказывания транспорта.
11
Варианты 21-30. Для выполнения работ Рь
и
сельскохозяйственное
предприятие может приобрести тракторы марок А и Б стоимостью соответственно С и с2 ден. ед. каждый. С использованием новой техники необходимо выполнить
не менее Ьх условных единиц работы Рь не менее Ь2 условных единиц работы Р2 и
не менее Ь3 условных единиц работы Р3. За рассматриваемый промежуток време
ни с использованием трактора марки А можно выполнить ап условных единиц работы Рь a2i работы Р2 или а31 работы Р3; с использованием трактора марки Б -
а12 условных единиц работы Р1, а22 работы Р2 или а32 работы Р3. Требуется:
1) составить математическую модель задачи, позволяющую найти такой вариант приобретения тракторов той и другой марки, при котором будут выполнены все необходимые работы, а затраты на новую технику будут минимальными;
2) одним из методов целочисленного линейного программирования найти оптимальный вариант приобретения тракторов.
Задание 5. Задача об оптимальном распределении инвестиций
Имеются четыре предприятия, между которыми необходимо распределить 100 тыс. ден. ед. средств. Значения прироста выпуска продукции на предприятиях
12
в зависимости от выделенных средств Х представлены в таблице. Составить оптимальный план распределения средств, позволяющий максимизировать общий прирост выпуска продукции.
Задание 6. Задача об оптимальном плане замены оборудования
Найти оптимальный план замены оборудования на 6-летний период, если известны производительность оборудования r(t) и остаточная стоимость оборудования S(t) в зависимости от возраста, стоимость нового оборудования P (заданы в таблице). Возраст оборудования к началу эксплуатации равен 1 году.
