Высшая математика БНТУ

Типовой расчет № 4

Теория вероятностей и математическая статистика

В задаче 4 составить закон распределения СВ X, найти математическое ожидание М(Х) и дисперсию D(X), найти функцию распределения F(X).

В задаче 5 СВ X с математическим ожиданием т и средним квадратическим отклонением а распределена по нормальному закону. Записать плотность распределения и функцию распределения СВ X. Найти вероятность попадания X в интервал (а, (3).

В задаче 6 подобрать по методу наименьших квадратов функцию у = ах + Ъ по данным таблицы.

Вариант 1

1. Из партии деталей для проверки отбирают 3 детали. Известно, что в партии содержится 20 деталей, из которых 5 бракованных. Найти вероятность того, что в числе отобранных только годные детали.
2. С первого автомата на сборку поступает 40 % деталей, со второго - 35 %, с третьего 25 %. Среди деталей с первого автомата 0,2 % бракованных, со второго - 0,3 %, с третьего - 0,5 %. Поступившая на сборку деталь оказалась бракованной. Найти вероятность того, что она изготовлена на первом автомате.
3. Техническое устройство, состоящее из четырех узлов, работает в течение некоторого времени t. За это время первый узел оказывается неисправным с вероятностью 0,1; второй - с вероятностью 0,15; третий - 0,2; четвертый - 0,05. Найти вероятность того, что за время t станут неисправными: а) все четыре узла; б) только один узел; в) хотя бы один узел.
4. В партии из 6 изделий имеется 4 стандартных. Наудачу отобрали 3 детали. СВ X- число стандартных деталей среди отобранных.
5. т = 10; а - 2; ос-12; {3 -14.

6.

^xi

0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

Уі

1,67

1,32

1,10

0,81

0,48

0,18

161

Вариант 2

1. Четверо сотрудников случайным образом рассаживаются за круглым столом для обсуждения текущих проблем. Какова вероятность того, что два определенных лица окажутся рядом?
2. Изделие проверяется на стандартность одним из двух контролеров. Первый контролер в среднем проверяет 60 % всех изделий, второй - 40 %. Вероятность того, что изделие будет признано стандартным первым контролером, равна 0,8, вторым - 0,7. Случайно выбранное изделие после проверки признано стандартным. Найти вероятность того, что оно проходило проверку у второго контролера.
3. В студии телевидения имеются 3 телевизионные камеры. Для каждой камеры вероятность того, что она включена в данный момент, равна 0,6. Найти вероятность того, что в данный момент включены: а) все три камеры; б) только две камеры; в) хотя бы одна камера.
4. К концу дня в магазине осталось 5 арбузов, среди которых 3 спелых. Покупатель выбирает 2 арбуза. СВ X- число спелых арбузов среди выбранных покупателем.
5. т = 20; о = 5; а = 15; Р = 25.

6.

^х,

0

4

10

15

21

29

Уі

66,7

71,0

76,3

80,6

85,7

92,9

Вариант 3

1. В группе 15 студентов, среди которых 6 троечников. Определить вероятность того, что в числе 4 наудачу вызванных из этой группы студентов окажется 2 троечника.
2. В ящике содержится 12 деталей, изготовленных на заводе № 1, 20 деталей - на заводе № 2 и 18 деталей - на заводе № 3. Вероятность того, что деталь изготовленная на заводе № 1, отличного качества, равна 0,9; для деталей, изготовленных на заводах № 2 и 3, эти вероятности соответственно равны 0,6 и 0,9. Найти вероятность того, что извлеченная наудачу деталь окажется отличного качества.
3. Вероятность того, что при одном измерении некоторой физической величины будет допущена ошибка, превышающая заданную точность, равна 0,4. Произведены три независимых измерения.

162

Найти вероятность того, что допущенная ошибка превысит заданную точность: а) во всех трех измерениях; б) только при двух измерениях; в) хотя бы при одном измерении.

1. По мишени производится три выстрела, вероятности попадания при каждом выстреле равны соответственно ОД; 0,2; 0,3. СВ X- число попаданий при трех выстрелах.
2. т- 0; а - 3; а = 0; Р = 2,4.

6.

0,30

0,91

1,50

2,00

2,20

2,62

Уі

0,20

0,43

0,35

0,52

0,81

0,68

Вариант 4

1. Из 40 вопросов, включенных в экзамен, студент подготовил 30. Какова вероятность того, что из предложенных ему трех вопросов он знает два?
2. Хлебозавод получает муку в мешках (без этикетки) с двух мельниц: с мельницы № 1 - 60 % и с мельницы № 2 - 40 %. На каждые 100 мешков мельницы № 1 приходится 80 мешков муки высшего сорта, а с мельницы № 2 - 70 мешков высшего сорта. Какова вероятность того, что случайно взятый на складе хлебозавода мешок окажется с мукой высшего сорта?

3.30 % изделий данной партии изготовлены заводом № 1. Из партии наудачу берутся (последовательно с возвратом) три изделия. Найти вероятность того, что из трех взятых изделий заводом № 1 будут изготовлены: а) все три изделия; б) только два изделия; в) хотя бы одно изделие.

1. Производится четыре независимых опыта, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью 0,4. СВ X - число появлений события А в четырех опытах.
2. т = 1,2; а = 2,9; а = 1; Р — 4.

6.

Хі

1

4

9

16

25

Уі

0,1

3

8,1

14,9

29,3

163

Вариант 5

1. На каждой из шести одинаковых карточек напечатана одна из букв: а, т, р, с, о. Карточки тщательно перемешаны. Найти вероятность того, что на четырех, вынутых по одной и расположенных «в одну линию» карточках, можно будет прочесть слово «трос».
2. Для контроля продукции из трех партий деталей взята для испытания одна деталь. Как велика вероятность обнаружения бракованной продукции, если в одной партци 2/3 деталей бракованные, а в двух других - все доброкачественные?
3. Вероятности того, что нужная сборщику деталь находится в первом, втором, третьем, четвертом ящике, соответственно равны 0,6; 0,7; 0,8; 0,9. Найти вероятность того, что деталь содержится:

а)  во всех четырех ящиках; б) только в одном ящике; в) хотя бы в одном ящике.

1. Охотник, имеющий пять патронов, стреляет в цель до первого попадания (или пока не израсходует все патроны). Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,4. СВ X - число израсходованных патронов.
2. т = 2,8; а = 0,4; а = 0,5; р = 3,8.

6.

Хі

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

У<

3,02

2,81

2,57

2,39

2,18

1,99

1,81

Вариант 6

1. В партии из 20 изделий имеется 4 бракованных. Из партии наугад выбирается 10 изделий. Определить вероятность того, что среди 10 изделий будет ровно 2 бракованных.
2. Имеется 22 одинаковые радиолампы. Из. них 10 изготовлено на заводе № 1, а остальные - на заводе № 2. Статистически установлено, что на заводе № 1 брак в среднем составляет 2 % готовой продукции, а на заводе №2-4%. Найти вероятность того, что взятая наудачу лампа изготовлена на заводе № 1, если она оказалась нестандартной.
3. Имеется 3 детали. Вероятность оказаться стандартной для первой детали равна 0,95, для второй - 0,9 и для третьей - 0,8. Оп-

164

ределить вероятность того, что стандартными окажутся: а) все три детали; б) только одна деталь; в) хотя бы одна деталь.

1. В партии из 8 деталей имеется 3 стандартные. Наугад отобраны 4 детали. СВ X- число стандартных деталей среди отобранных.
2. т = 3,4; а - 1,1; а - 0,8; (3 - 2,9.

6.

*/■

50

55

65

70

90

100

У:

20

30

25

45

55

60

Вариант 7

1. В цехе работают 6 мужчин и 4 женщины. По табельным номерам наугад отобраны 7 человек. Найти вероятность того, что среди отобранных лиц окажутся 3 женщины.
2. Изделие проверяется на стандартность одним из двух товароведов. Вероятность того, что изделие попадет к первому товароведу, равна 0,55, а ко второму - 0,45. Вероятность того, что стандартное изделие будет признано стандартным первым товароведом, равна 0,9, а вторым - 0,98. Стандартное изделие при проверке было признано стандартным. Найти вероятность того, что это изделие проверил второй товаровед.
3. Устройство состоит из трех элементов, работающих независимо. Вероятности безотказной работы (за время t) первого, второго и третьего элементов соответственно равны 0,7; 0,75; 0,8. Найти вероятность того, что за время t безотказно будут работать: а) все три элемента; б) только один элемент; в) хотя бы один элемент.
4. Производится три независимых выстрела по цели. Вероятность поражения цели при одном выстреле равна 0,8. СВ X- число попаданий в цель.
5. т = 1,5; а = 2,2; а = 0,9; р = 4,1.

6.

Xi

40

60

80

100

120

140

Уі

5

6

14

15

7

3

165

Вариант 8

1. В партии из 100 изделий 10 изделий бракованных. Какова вероятность того, что среди взятых четырех изделий 3 будут не бракованные?
2. На распределительной базе находятся электрические лампочки, произведенные двумя заводами. Среди них 70 % изготовлены первым заводом и 30 % - вторым. Известно, что из каждых 100 лампочек, произведенных первым заводом, 90 штук удовлетворяют стандарту, а из 100 штук, произведенных вторым заводом, удовлетворяют стандарту 80 штук. Определить вероятность того, что взятая наудачу с базы лампочка будет удовлетворять требованиям стандарта.
3. В двух ящиках находятся детали: в первом - 10 (из них 3 стандартных), во втором 15 (из них 6 стандартных). Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что стандартными окажутся: а) обе детали; б) только одна деталь; в) хотя бы одна деталь.
4. Из партии в 25 изделий, среди которых имеется 6 нестандартных, выбраны случайным образом 3 изделия для проверки их качества. СВ X- число нестандартных изделий, содержащихся в выборке.
5. m = 1,8; а = 0,6; а = 1,3; (3 = 4,8.

6.

*/■

1

2

3

4

5

6

Ух

3,1

4,9

7,2

8,8

10,8

13,1

Вариант 9

1. В мешочке имеется 5 одинаковых кубиков. На всех гранях каждого кубика написана одна из следующих букв: о, п, р, с, т. Найти вероятность того, что на вынутых по одному и расположенных «в одну линию» кубиках можно будет прочесть слово «СПОРТ».
2. Производится стрельба по мишеням трех типов, из которых 5 мишеней типа А, 3 мишени типа В и 2 мишени типа С. Вероятность попадания в мишень типа А равна 0,4, в мишень типа В - 0,1, в мишень типа С - 0,15. Найти вероятность поражения одной из мишеней при одном выстреле, если неизвестно, в мишень какого типа он будет сделан.

166

1. Прибор, работающий в течение времени t, состоит из трех узлов, каждый из которых независимо от других может в течение времени t отказать (выйти из строя). Отказ хотя бы одного узла приводит к отказу прибора в целом. За время t надежность (вероятность безотказной работы) первого узла равна 0,8; второго - 0,9; третьего - 0,7. Найти вероятность выхода прибора из строя за время t в результате отказа: а) всех трех узлов; б) только одного узла; в) хотя бы одного узла.
2. Срок службы шестерен коробок передач зависит от следующих факторов: усталость материала в основании зуба, контактных напряжений и жесткости конструкции. Вероятность отказа каждого фактора в одном испытании равна 0,1. СВ X - число отказавших факторов в одном испытании.
3. т = 2,3; а - 0,7; а = 2,1; Р = 3,2.

6.

Xi

2

4

6

7

9

Уі

и

6,8

12,9

15,8

22,2

Вариант 10

1. Из партии деталей для проверки отбирают 3 детали. Известно, что в партии содержится 20 деталей, из которых 5 бракованных. Найти вероятность того, что в числе отобранных только одна годная деталь.
2. Сборщик получил 3 ящика деталей: в первом ящике 40 деталей, из них 20 окрашенных; во втором - 50, из них 10 окрашенных; в третьем - 30 деталей, из них 15 окрашенных. Найти вероятность того, что наудачу извлеченная деталь из наудачу взятого ящика окажется окрашенной.
3. Три исследователя независимо один от другого производят измерения некоторой физической величины. Вероятность того, что первый исследователь допустит ошибку при считывании показаний прибора равна 0,15. Для второго и третьего исследователей эта вероятность соответственно равна 0,2 и 0,25. Найти вероятность того, что при однократном измерении допустят ошибку: а) все три исследователя; б) только один исследователь; в) хотя бы один из исследователей.

167

1. В кафетерии имеется 3 автомата для приготовления кофе. Ве-
   роятность отказа автомата в течение дня равна 0,2. СВ X - число
   автоматов, отказавших в течение дня.
2. т = 2,4; а = 1,2; а = 3,3; р = 5,2.
3. _____________________________________

Хі

1

3

4

6

7

9

Уі

-2,9

5,2

8,9

16,9

22,2

30

Вариант 11

1. Пять сотрудников случайным образом рассаживаются за круглым столом. Какова вероятность того, что два определенных лица окажутся рядом?
2. Станок обрабатывает три вида деталей, причем все его время распределяется между ними в отношении 1:5:4. При обработке I детали он работает с максимальной для него нагрузкой в течение 70 % времени, при обработке II детали в течение 50 % и III - 20 % времени. В случайно выбранный момент станок работал с максимальной нагрузкой. Определить вероятность того, что он в это время обрабатывал деталь вида I.
3. Студент разыскивает нужную ему формулу в трех справочниках. Вероятность того, что формула содержится в первом, втором, третьем справочниках, соответственно равна 0,6; 0,7; 0,8. Найти вероятность того, что формула содержится: а) во всех трех справочниках;

б)  только в одном справочнике; в) хотя бы в одном справочнике.

1. Производится четыре независимых выстрела. Вероятность поражения цели при каждом выстреле равна 0,6. СВ X - число попаданий в цель.
2. т = 2,8; а = 1,4; а = 3,1; Р = 4,1.

6.

2

4

6

7

9

10

У,

2,5

3,1

3,9

4

5,01

4,9

Вариант 12

1. Из десяти билетов выигрышными являются два. Чему равна вероятность того, что среди взятых наудачу пяти билетов один выигрышный?

168

1. Характеристика материала, взятого для изготовления продукции с вероятностями 0,09; 0,16; 0,25; 0,25; 0,16 и 0,9, может находиться в шести различных интервалах. В зависимости от свойств материала вероятности получения первосортной продукции равны соответственно 0,2; 0,3; 0,4; 0,4; 0,3 и 0,2. Определить вероятность получения первосортной продукции.
2. Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сигнализатор сработает, равна 0,95 для первого сигнализатора и 0,9 для второго. Найти вероятность того, что при аварии сработает: а) оба сигнализатора; б) только один сигнализатор; в) хотя бы один сигнализатор.
3. На участке имеется пять одинаковых станков, коэффициент использования которых по времени составляет 0,8. СВ X - число работающих станков при нормальном ходе производства.
4. т - 8,2; а = 4,3; а = 5,4; р - 7,2.

6.

Хі

1

2

4

6

8

9

Уі

-3,1

0,9

8,9

17,2

24,8

29,1

Вариант 13

1. Из партии, содержащей 10 изделий, среди которых 3 бракованных, наудачу извлекают 3 изделия. Найти вероятность того, что в полученной выборке одно изделие бракованное.
2. В группе 20 лыжников, 6 велосипедистов, 4 бегуна. Вероятность выполнить квалификационную норму равна: для лыжника - 0,9; для велосипедиста - 0,9 и для бегуна - 0,75. Найти вероятность того, что спортсмен, вызванный наудачу, выполнит норму.
3. Вероятность установления в данной местности устойчивого снежного покрова с октября равна 0,1. Определить вероятность того, что в ближайшие три года в этой местности устойчивый снежный покров с октября установится: а) три раза; б) только два раза;

в)  хотя бы один раз.

1. Охотник стреляет в цель до первого попадания, но успевает сделать не более 4 выстрелов. Вероятность попадания при одном выстреле равна 0,7. СВ X- число выстрелов, производимых охотником.

169

1. т = 7,4; а = 0,5; а = 0; р = 10.

6.

х_;

2 2

3

4,3

5,4

6

У-

12,8

17,1

22,8

28,8

32,2

Вариант 14

1. На плоскости начерчены две концентрические окружности, радиусы которых 6 и 12 см соответственно. Какова вероятность того, что точка, брошенная наудачу в большой круг, попадет в кольцо, образованное указанными окружностями?
2. На некоторой фабрике машина А производит 40 % всей продукции, а машина В - 60 %. В среднем 9 единиц из 1000 единиц продукции, произведенных машиной А, оказываются браком, а у машины В - брак 2 единицы из 500. Некоторая единица продукции, выбранная случайным образом из дневной продукции, оказалась браком. Какова вероятность того, что она произведена на машине А?
3. Рабочий обслуживает три станка, работающих независимо друг от друга. Вероятность того, что в течение часа станок не потребует внимания рабочего, равна для первого станка 0,9, для второго - 0,8, для третьего - 0,85. Найти вероятность того, что в течение часа внимания рабочего потребуют: а) все три станка; б) только один станок; в) хотя бы один станок.
4. В партии 10 % деталей нестандартных. Наудачу отобраны 4 детали. СВ А- число нестандартных деталей среди 4 отобранных.
5. т = 6,3; а = 0,9; а = 5,1; |3 = 8,2.

6.

Хі

1 і 3

5

7

9

Уі

-3,9

4,1

11,8

19,9

28,2

Вариант 15

1. На складе готовой продукции находится 20 изделий, из которых 12 - первого сорта, остальные изделия второго сорта. Производится выборка без возвращения 5 изделий. Какова вероятность того, что в выборке будет ровно 3 изделия первого сорта?

170

1. Электрическая лампочка может принадлежать одной из четырех партий с вероятностями 0,3; 0,4; 0,1; 0,2. Вероятности того, что взятая лампочка может гореть положенное число часов для этих партий, соответственно равны 0,22; 0,15;0,46; 0,38. Найти вероятность того, что взятая лампочка сможет гореть положенное число часов.
2. Вероятность того, что расход электроэнергии в течение одних суток не превысит установленной нормы, равна 0,75. Найти вероятность того, что в ближайшие 6 суток расход электроэнергии не превысит нормы в течение: а) трех суток; б) не менее пяти суток; в) по крайней мере одних суток.
3. Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,1. СВ X- число отказавших элементов в одном опыте.
4. т = 0,7; а = 0,1; а = 0,5; (3=1,1.
5. ___________

X/

2,2

3,1

4,3

5,2

6

У,

з,з

5,1

7,5

9,3

11,2

Вариант 16

1. Шесть человек случайным образом рассаживаются за круглым столом. Какова вероятность того, что два определенных лица окажутся рядом?
2. Детали изготовляются на трех автоматах, после чего они поступают на общий конвейер. Вероятность изготовления бракованной детали на первом автомате равна 0,04, на втором - 0,07, на третьем - 0,05. Производительности первого и третьего автомата равны между собой, а производительность второго автомата в 1,5 раза выше производительности первого автомата. Найти вероятность того, что наудачу взятая с конвейера деталь бракованная.
3. На склад магазина поступают изделия, из которых 80 % оказывается высшего сорта. Найти вероятность того, что из 100 взятых наудачу изделий высшего сорта окажется: а) от 72 до 84 изделий; б) ровно 78 изделий.
4. Из урны, содержащей 4 белых и 2 черных шара, наудачу извлекают 2 шара. СВ X- число черных шаров среди этих двух.
5. т = 3,3; а = 2,3; а = 3,2; р = 4,7.

171

6.

Хі

! 1 1

2

3

4

5

6

У> \

! 0^4

0,38

0,49

0,58

0,72

0,78

Вариант 17

1. Устройство состоит из пяти элементов, из которых два изношены. При включении устройства включаются случайным образом два элемента. Найти вероятность того, что включенными окажутся неизношенные элементы.
2. Имеются три одинаковые урны. В первой урне находятся 5 белых и 5 черных шаров, а во второй 3 белых и 2 черных шара, в третьей - 7 белых и 3 черных шара. Из одной наугад выбранной урны извлекается один шар. Определить вероятность того, что шар будет белый.
3. Имеется некоторое количество однотипных изделий. Известно, что 70 % из них первого сорта и 30 % - второго. Определить вероятность того, что из 4 наудачу взятых изделий первого сорта окажется: а) одно изделие; б) не менее трех изделий; в) хотя бы одно из изделий.
4. Из ящика, содержащего 3 бракованных и 5 стандартных деталей, наугад извлекают 3 детали. СВ X- число вынутых стандартных деталей.
5. т = 4; а = 5; а = 2; р = 11.

6.

0,2

0,4

0,7

0,9

1,1

1,5

У,

-3,5

-2,9

-2

-1,4

-0,68

0,49

Вариант 18

1. Из партии, состоящей из 20 радиоприемников, для проверки произвольно отбирают три приемника. Партия содержит пять неисправных приемников. Какова вероятность того, что в число отобранных войдут только исправные приемники?
2. На сборку поступают детали с двух автоматов. Первый дает в среднем 0,2 % брака, второй - 0,1 %. Найти вероятность попадания на сборку бракованной детали, если с первого автомата поступило 2000 деталей, а со второго - 3000.

172

1. Вероятность выхода из строя за определенное время t одного станка равна 0,1, Определить вероятность того, что из 100 станков в течение данного промежутка времени t выйдут из строя: а) от 7 до 13 станков; б) ровно 10 станков.
2. Два стрелка стреляют по одной мишени, делая независимо друг от друга по два выстрела. Вероятность попадания для первого стрелка равна 0,5, для второго - 0,6. СВ X- общее число попаданий.
3. т = 3; ст = 2; а = 3; р = 10.

6.

X,

2

3

5

7

9

10

У,

11,8

16,8

26,9

36,9

46,9

52,2

Вариант 19

1. Партия из 100 деталей подвергается выборочному контролю. Условием непригодности всей партии является наличие хотя бы одной бракованной детали среди пяти проверяемых. Какова вероятность для данной партии быть принятой, если она содержит 5 % неисправных деталей?
2. В цехе 3 группы автоматических станков (по степени амортизации) производят одни и те же детали. Производительность их одинакова, но качество работы различно. Известно, что станки первой группы производят 0,9 деталей первого сорта, второй - 0,85 и третьей - 0,8. Все произведенные в цехе за смену детали в нерассортированном виде сложены на склад. Определить вероятность того, что взятая наудачу деталь окажется первого сорта, если станков первой группы 5 штук, второй - 4 и третьей - 1 штука.
3. В цехе работает 5 станков. Для каждого станка вероятность того, что он в данный момент включен, равна 0,9. Какова вероятность того, что в данный момент включены: а) три мотора; б) не менее четырех моторов; в) по крайней мере один мотор.
4. Вероятность попадания при каждом выстреле 0,4. СВ X - число промахов в мишень при четырех выстрелах.
5. т = 5; а = 1; а = 1; р = 12.

6.

Xi

0

1

2

4

6

8

У>

-2,1

2,2

4,9

14,2

21,9

30,1

173

Вариант 20

1. Из партии деталей для проверки отбирают 3 детали. Известно, что в партии содержится 20 деталей, из которых 5 бракованных. Найти вероятность того, что в числе отобранных хотя бы одна из трех деталей годная.
2. Прибор может собираться из высококачественных деталей и из деталей обычного качества; вообще 40 % приборов собирается из высококачественных деталей. Если прибор собран из высококачественных деталей, то его надежность (вероятность безотказной работы за время t) равна 0,95, если из деталей обычного качества - его надежность равна 0,7. Прибор испытывался в течение времени t и работал безотказно. Найти вероятность того, что он собран из высококачественных деталей.
3. 100 станков работают независимо друг от друга, причем вероятность бесперебойной работы каждого из них в течение смены равна 0,8. Найти вероятность того, что в течение смены бесперебойно проработают: а) от 70 до 82 станков; б) ровно 76 станков.
4. Сигнальное устройство магазина состоит из 3 независимо работающих элементов, вероятность отказа каждого из которых равна 0,2. СВ X- число отказавших элементов.
5. т - 2; а = 4; а = 6; р = 10.

6.

Xi

-3

-2

0

1

3

4

Уі

-3

-2,5

-1,9

-1,68

-1

-0,78

Вариант 21

1. Из партии, содержащей 10 стандартных и 5 нестандартных деталей, отобрано случайным образом 5 деталей. Найти вероятность того, что среди 5 отобранных деталей 3 стандартные.
2. На сборочный конвейер поступают детали с четырех автоматов, работающих с различной точностью. Первый автомат дает 0,5 % брака, второй - 0,44, третий - 0,7, четвертый - 0,6 брака. С первого автомата поступило 1200 изделий, со второго - 1500, с третьего - 2000, с четвертого - 1300. Определить вероятность того, что на конвейер попадет бракованная деталь.

174

1. Вероятность выхода из строя за время t одного конденсатора равна 0,2. Определить вероятность того, что за время t из 100 конденсаторов выйдут из строя: а) от 15 до 26 конденсаторов; б) ровно 21 конденсатор.
2. Монету подбрасывают 4 раза. СВ X- число появлений герба.
3. т = 8; о = 1; а = 4; р = 9.

6.

Xi

0

1

2

4

6

10

У<

0,9

7,1

12,8

25,1

36,8

61,4

Вариант 22

1. В ящике 10 шаров, из которых 2 белых, 3 красных и 5 голубых. Наудачу извлечены 3 шара. Найти вероятность того, что все 3 шара разного цвета.
2. Имеется два набора деталей. Первый набор содержит 10 деталей, второй - 15. Вероятность того, что детали первого набора стандартные - 0,8, а второго - 0,9. Найти вероятность того, что взятая наугад деталь (из наугад взятого набора) стандартная.
3. В цехе имеется 5 автоматов. Вероятность того, что каждый из них будет остановлен для смены деталей, равна 0,1. Определить вероятность того, что будет остановлено: а) три автомата; б) не более двух автоматов; в) хотя бы один автомат.
4. Из партии в 15 изделий, среди которых имеются 2 бракованных, выбраны случайным образом 3 изделия для проверки их качества. СВ X- число бракованных деталей, содержащихся в выборке.
5. л? = 10; ст = 4; а = 2; Р = 13.

6.

Xi

0,1

0,2

0,4

1

2

4

Уі

-1,9

-1,5

-1,3

0,1

2,1

5,8

Вариант 23

1. В ящике содержатся 6 деталей первого сорта и 4 - второго. Наудачу берут 2 детали. Какова вероятность того, что они окажутся первого сорта?

175

1. Брак в продукции завода вследствие дефекта А составляет 5 %, причем среди забракованной по признаку А продукции в 10 % случаев встречается дефект Е, а в продукции, свободной от дефекта А, дефект Е встречается в 1 % случаев. Найти вероятность встречи дефекта Е во всей продукции.
2. Вероятность соединения с абонентом равна 0,8. Найти вероятность того, что при 100 вызовах число соединений будет: а) от 68 до 81; б) ровно 74.
3. В партии из 10 деталей имеется 8 стандартных. Наудачу отобраны 2 детали. СВ X- число стандартных деталей среди отобранных.
4. т = 9; а = 5; а = 5; (3 = 14.

6.

X'

1

3

5

7

9

11

У>

2,1

3,9

6,2

7,8

10,2

11,8

Вариант 24

1. Из урны, содержащей 4 белых, 6 красных и 5 зеленых шаров, вынимаются наугад одновременно 3 шара. Какова вероятность того, что среди вынутых трех шаров окажутся два белых и один красный?
2. На конвейер поступают однотипные изделия, изготовляемые двумя рабочими. При этом первый поставляет 60 %, второй - 40 % общего числа изделий. Вероятность того, что изделие, изготовленное первым рабочим, окажется нестандартным, равна 0,002, вторым - 0,01. Взятое наудачу с конвейера изделие оказалось нестандартным. Определить вероятность того, что оно изготовлено первым рабочим.
3. В зимнее время вероятность своевременного прибытия поезда на станцию принимается равной 0,8. Определить вероятность того, что из четырех ожидаемых поездов прибудут своевременно: а) один поезд; б) не менее трех поездов; в) по крайней мере один поезд.
4. Рабочий обслуживает 3 независимо работающих станка. Вероятности того, что в течение часа I, II, III станок не потребует внимания рабочего, равны соответственно 0,7; 0,8; 0,9. СВ X - число станков, которые не потребуют внимания рабочего в течение часа.
5. /и = 6;а = 3;а = 2;р=11.

176

6.

Хі

од

0,2

0,4

0,5

0,7

0,9

Уі

2,4

2,5

3,3

3,6

4

4,8

Вариант 25

1. В ящике имеется 15 деталей, среди которых 10 окрашенных. Сборщик наудачу извлекает три детали. Найти вероятность того, что извлеченные детали окажутся окрашенными.
2. Электрические приборы поставляются в магазин тремя заводами. Первый поставляет 50 %, второй 20 и третий, 30 % всей продукции. Вероятности изготовления прибора высшего качества каждым заводом соответственно равны 0,92; 0,85; 0,80. Определить вероятность того, что купленный в магазине прибор будет высшего качества.
3. По данным длительной проверки качества выпускаемых запчастей определенного вида, брак составляет 10 %. Определить вероятность того, что в непроверенной партии из 400 изделий годных будет: а) от 354 до 369 шт.; б) ровно 363 іпт.
4. В партии из 10 изделий содержатся три нестандартных. Наудачу отобраны два изделия. СВ X — число нестандартных изделий среди двух отобранных.
5. т = 3; а = 1; а = 0,5; Р = 3,5.

6.

Хі

-1

0

1

2

4

6

Уі

2,9

5,1

6,69

8,9

12,8

17,2

Вариант 26

1. Семь студентов случайным образом рассаживаются за круглым столом. Какова вероятность того, что два определенных лица окажутся рядом?
2. На двух станках производятся одинаковые детали. Вероятность того, что деталь, производимая первым станком, стандартна, равна 0,86, а вторым - 0,97. Производительность первого станка вдвое больше производительности второго. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь будет стандартной.

177

1. В некотором водоеме карпы составляют 80 % всех рыб. Какова вероятность того, что из пяти выловленных в этом водоеме рыб окажется: а) два карпа; б) не менее четырех карпов; в) хотя бы один карп.
2. Подбрасываются две монеты, подсчитывается число гербов на обеих верхних сторонах монет. СВ X - число выпадений гербов на обеих монетах.
3. т = 1; а = 4; а = -5; /3 = 0.

6.

Хі

-0,2

-0,1

0

0,1

0,2

0,4

Уі

-1,6

-1,28

0,1

-0,68

-0,41

0,1

Вариант 27

1. В коробке пять одинаковых изделий, причем три из них окрашены. Наудачу извлечены два изделия. Найти вероятность того, что среди двух извлеченных изделий окажется одно окрашенное изделие.
2. На трех автоматических линиях изготовляются однотипные детали. Вследствие разладки станков возможен выпуск бракованной продукции первой линией с вероятностью 0,02, второй - с вероятностью 0,01 и третьей - с вероятностью 0,05. Первая линия дает 70 %, вторая 20 % и третья 10 % всей продукции. Определить вероятность получения брака.
3. Процент вывода гусят в среднем равен 80. В инкубатор заложено 225 яиц. Найти вероятность того, что выведется: а) от 165 до 180 гусят; б) ровно 171 гусенок.
4. В коробке 7 карандашей, из которых 4 красных. Из этой коробки наудачу извлекаются 3 карандаша. СВ X- число красных карандашей в выборке.
5. т = 2; а = 1; а = 0; (3 = 3.

6.

Хі

-3

-2

-1

0

1

2

Уі

-3,9

-2,1

0,1

1,9

4,2

6,1

Вариант 28

• Ha тепловой электростанции 15 сменных инженеров, из них 3 женщины. В смену заняты три человека. Найти вероятность того, что в случайно выбранную смену мужчин окажется не менее двух.

178

1. На складе готовой продукции находится пряжа, изготовленная
   двумя цехами фабрики, причем 20 % пряжи составляет продукция
   цеха № 2, а остальная - цеха № 1. Продукция цеха № 1 содержит 90 %,
   а цеха № 2 - 70 % пряжи первого сорта. Взятый наудачу со склада
   моток пряжи оказался первого сорта. Определить вероятность того,
   что этот моток является продукцией цеха № 1.
2. Производится четыре независимых выстрела по некоторой це-
   ли, причем вероятность попадания при одном выстреле 0,25. Найти
   вероятности: а) двух попаданий; б) не менее трех попаданий; в) хо-
   тя бы одного попадания.
3. В урне 7 шаров, из которых 4 голубых, а остальные красные.
   Из этой урны извлекается 3 шара. СВ X - число голубых шаров в
   выборке.
4. т = 2,5; а = 0,5; а = 1; (3 = 3.

6.

Хі

0

1

2

3

4

5

У,

-2,1

2,9

7,9

13,1

17,8

23,2

Вариант 29

1. Собрание, на котором присутствуют 25 человек, в том числе 5 женщин, выбирает делегацию из 3 человек. Считая, что каждый из присутствующих с одинаковой вероятностью может быть избран, найти вероятность того, что в делегацию войдут две женщины и один мужчина.
2. На двух станках обрабатываются однотипные детали. Вероятность брака для станка № 1 составляет 0,03, а для станка № 2 - 0,02. Обработанные детали складываются в одном месте, причем деталей со станка № 1 складывается вдвое больше, чем со станка № 2. Вычислить вероятность того, что взятая наудачу деталь не будет бракованной.
3. Вероятность рождения бычка при отеле коровы 0,5. Найти вероятность того, что от четырех коров будет: а) два бычка; б) не менее трех бычков; в) по крайней мере один бычок.
4. Вероятность изготовления нестандартного изделия при налаженном технологическом процессе постоянна и равна 0,1. Для проверки качества изготовленных изделий ОТК берет из партии не бо

179